利用函数求导计算体积
设 $f$ 是$[a，b]$的连续函数，$Ω$是由图形
$$0≤|y|≤|f(x)|,a≤x≤b$$
绕 $x$ 轴旋转一周的旋转体，截面面积函数
$$A(x)=π[f(x)]^2,x∈[a,b]$$
则旋转体 $Ω$ 的体积为
$$V=π∫_a^b[f(x)]^2dx$$
设圆锥的函数$f(x)=\frac rhx$ 三角形高为 $r$，底为 $h$，绕$\ x \ $轴旋转。则体积为
$$V=π∫_0^h(\frac rhx)^2dx =π(\ _0^h|\frac13 \frac {r^2}{h^2} x^3）=\frac13πr^2h$$
设圆的方程为 $x^2+y^2=r^2$ , 那么 $y=\sqrt {r^2-x^2},$ 则球的体积为
$$V=π∫_{-r}^r (\sqrt {r^2-x^2})^2dx=π(\ _{-r}{^r}|r^2x-\frac13x^3)=(r^3-\frac13r^3)-(-r^3+\frac13r^3)=\frac43πr^3$$
